Jumat, 05 April 2013


Rumus Matematika Aturan Tangen

 

Aturan Tangen

Triangle.Labels.svg
\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}
Parameter
1. a\! Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A
2. b\! Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B
3. c\! Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C
4. \alpha\! Besar sudut yang terletak di sudut A
5. \beta\! Besar sudut yang terletak di sudut B
6. \gamma\! Besar sudut yang terletak di sudut C

Rabu, 03 April 2013


PENGUKURAN, BESARAN DAN SATUAN

 http://gedelumbung.com/wp-content/uploads/2010/04/matematika.jpg

Pengukuran adalah kegiatan membandingkan nilai besaran yang diukur dengan alat ukur yang ditetapkan sebagai satuan. Contoh: mengukur panjang meja dengan sebatang pensil (panjang meja sebagai besaran, pensil sebagai alat ukur, dan panjang pensil sebagai satuannya).
A. BESARAN
Besaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan nilai.
Jika ditinjau dari arah dan nilainya, besaran dikelompokan menjadi dua, yaitu:
1. Besaran skalar, yaitu besaran yang hanya memiliki nilai tanpa memiliki arah. Contoh: massa, panjang, waktu, energi, usaha, suhu, kelajuan dan jarak.
2. Besaran vektor, yaitu besaran yang memiliki nilai dan arah. Contoh: gaya, berat, kuat arus, kecepatan, percepatan dan perpindahan.
Sedangkan, berdasarkan jenis satuannya, besaran dikelompokan menjadi dua, yaitu:
a. Besaran Pokok
Besaran pokok adalah besaran yang satuannya telah ditetapkan lebih dahulu dan tidak tersusun atas besaran lain. Besaran pokok terdiri atas tujuh besaran. Tujuh besaran pokok dan satuannya berdasarkan sistem satuan internasional (SI) sebagaimana yang tertera pada tabel berikut:

Tabel Besaran Pokok dan Satuannya
Besaran Pokok Satuan SI
Massa kilogram (kg)
Panjang meter (m)
Waktu sekon (s)
Kuat Arus ampere (A)
Suhu kelvin (K)
Intensitas Cahaya candela (Cd)
Jumlah Zat mole (mol)
Sistem satuan internasional (SI) artinya sistem satuan yang paling banyak digunakan di seluruh dunia, yang berlaku secara internasional.
b. Besaran Turunan
Besaran turunan merupakan kombinasi dari satuan-satuan besaran pokok. Contoh besaran turunan adalah luas suatu daerah persegi panjang. Luas sama dengan panjang dikali lebar, dimana panjang dan lebar keduanya merupakan satuan panjang. Perhatikan tabel besaran turunan, satuan dan dimensi di bawah ini.

Tabel Besaran Turunan dan Satuannya
Besaran Turunan Satuan SI
Gaya (F) kg.m.s-2
Massa Jenis (p) kg.m-3
Usaha (W) kg.m2.s-2
Tekanan (P) kg.m-1.s-2
Percepatan m.s-2
Luas (A) m2
Kecepatan (v) m.s-1
Volume (V) m3
B. SATUAN
Satuan adalah ukuran dari suatu besaran yang digunakan untuk mengukur. Jenis-jenis satuan yaitu:
a. Satuan Baku
Satuan baku adalah satuan yang telah diakui dan disepakati pemakaiannya secara internasional tau disebut dengan satuan internasional (SI).
Contoh: meter, kilogram, dan detik.
Sistem satuan internasional dibagi menjadi dua, yaitu:
1. Sistem MKS (Meter Kilogram Sekon)
2. Sistem CGS (Centimeter Gram Second)


Tabel Satuan Baku
Besaran Pokok Satuan MKS Satuan CGS
Massa kilogram (kg) gram (g)
Panjang meter (m) centimeter (cm)
Waktu sekon (s) sekon (s)
Kuat Arus ampere (A) statampere (statA)
Suhu kelvin (K) kelvin (K)
Intensitas Cahaya candela (Cd) candela (Cd)
Jumlah Zat kilomole (mol) mol
b. Satuan Tidak Baku
Satuan tidak baku adalah satuan yang tidak diakui secara internasional dan hanya digunakan pada suatu wilayah tertentu.
Contoh: depa, hasta, kaki, lengan, tumbak, bata dan langkah.
C. ALAT UKUR
Alat Ukur adalah sesuatu yang digunakan untuk mengukur suatu besaran.
Berbagai macam alat ukur memiliki tingkat ketelitian tertentu. Hal ini bergantung pada skala terkecil alat ukur tersebut. Semakin kecil skala yang tertera pada alat ukur maka semakin tinggi ketelitian alat ukur tersebut. Beberapa contoh alat ukur sesuai dengan besarannya, yaitu:
a. Alat Ukur Panjang
1. Mistar (Penggaris)
Mistar adalah ala ukur panjang dengan ketelitian sampai 0,1 cm atau 1 mm. Pada pembacaan skala, kedudukan mata pengamat harus tegak lurus dengan skala mistar yang di baca.
penggaris_mistar
2. Jangka Sorong
Jangka sorong dipakai untuk mengukur suatu benda dengan panjang yang kurang dari 1mm. Skala terkecil atau tingkat ketelitian pengukurannya sampai dengan 0,01 cm atau 0,1 mm.
Umumnya, jangka sorong digunakan untuk mengukur panjang suatu benda, diameter bola, ebal uang logam, dan diameter bagian dalam tabung.
Jangka sorong memiliki dua skala pembacaan, yaitu:
a). Skala Utama/tetap, yang terdapat pada rahang tetap jangka sorong.
b). Skala Nonius, yaitu skala yang terdapat pada rahang sorong yang dapa bergeser/digerakan.
jangka-sorong
3. Mikrometer Sekrup
Mikrometer sekrup merupakan alat ukur panjang dengan ingkat ketelitian terkecil yaiu 0,01 mm atau 0,001 cm.
Skala terkecil (skala nonius) pada mikrometer sekrup terdapat pada rahang geser, sedangkan skala utama terdapat pada rahang tetap.
Mikrometer sekrup digunakan untuk mengukur diameter benda bundar dan plat yang sangat tipis.
mikrometer-sekrup
b. Alat Ukur Massa
Alat ukur yang digunakan untuk mengukur massa suatu benda adalah neraca. Berdasarkan cara kerjanya dan keelitiannya neraca dibedakan menjadi tiga, yaitu:
1. Neraca digital, yaitu neraca yang bekerja dengan sistem elektronik. Tingkat ketelitiannya hingga 0,001g.
neraca-digital
2. Neraca O'Hauss, yaitu neraca dengan tingkat ketelitian hingga 0.01 g.
neraca-ohauss
3. Neraca sama lengan, yaitu neraca dengan tingkat ketelitian mencapai 1 mg atau 0,001 g.
neraca-sama-lengan

c. Alat Ukur Waktu
Satuan internasional untuk waktu adalah detik atau sekon. Satu sekon standar adalah waktu yang dibuuhkan oleh atom Cesium-133 untuk bergetar sebanyak 9.192.631.770 kali.
Alat yang digunakan untuk mengukur waktu, antara lain jam matahari, jam dinding, arloji (dengan ketelitian 1 sekon), dan stopwatch (ketelitian 0,1 sekon).
arloji
stopwatch

Koordinat Kartesius dan Kutub

http://www.ade.az.gov/sa/images/math.JPG 

Catatan: Jika sudut dalam koordinat kutub leih besar dari 90 derajat harap diperhatikan berada di kuadran berapa (gunakan rumus kuadran).

Pada buku hal. 16.
a)        P(6, 120°) -> 120° dikuadran II maka gunakan rumus kuadran II Cos(180-30)= -cos 30 = - ½ Ö3 (ingat kuadran II Cosinus negatif).
b)       P(8,330°) -> 330° dapat dicari dikuadran IV gunakan rumus dikuadran IV cos(360-30)= cos 30 = ½ Ö3 (ingat kuadran IV Cosinus positif).

CONTOH SOAL:

1.        Tentukan koordinat kutubnya untuk koordinat kartesuis P(4,4Ö3)
Penyelesaian:
Diketahui: x = 4 dan y = 4Ö3
r2 = 42 + (4Ö3)2                              
r2 = 16 + 48                    
r2 = 64     
r = Ö64     
r = 8         

tan q° = 4Ö3/4
q°  = arc tan 4Ö3/4
q°  = arc tan Ö3
q° = 60°   

Jadi koordinat kutubnya adalah P(8, 60°)     

2.        Tentukan koordinat kartesiusnya untuk koordinat kutub P(10,120°)
Penyelesaian:
Diketahui: r = 10 dan q° = 120° (kuadran II cos negatif)
X = r . cos 120°
X = 10 . cos(180°-60°)
X= 10 . –cos 60°
X = 10. – ½    
X = -5            

Y = r . sin 120°              
Y = 10 . sin(180°-60°)
Y = 10 . sin 60°              
Y = 10 . ½ Ö3 
Y = 5Ö3          

Jadi koordinat kartesiusnya adalah P(-5, 5Ö3)

Menentukan Skala, Jarak Sebenarnya dan Jarak pada Gambar


Menentukan Skala Peta/Denah
Penggunaan perbandingan salah satunya untuk menentukan skala. Salah satu cara menentukan skala yaitu dengan menyederhanakan pecahan.
Perhatikan contoh di bawah ini!
Kota A dan kota B berjarak 50 km, sedangkan jarak pada peta 20 cm. Skala peta dapat ditentukan sebagai berikut.
Skala = Jarak pada peta :  Jarak sebenarnya
          =  20 cm                  :  50 km
          =  1250.000
 Keterangan         20 cm : 5.000.000 cm dapat dicari dengan mencari perbandingan paling     
                            sederhana  yaitu dengan mencari FPB dari 20 dan 5.000.000.
                            FPB dari 20 dan 5.000.000 adalah 20, maka 20 : 20 = 1
                                                                        dan 5.000.000 : 20 = 250.000
Jadi, skala peta 1 : 250.000, artinya setiap 1 cm pada peta mewakili 250.000 cm = 2,5 km pada jarak sebenarnya.
Menentukan Jarak Sebenarnya
Apabila skala dan jarak pada peta diketahui dan kita diminta untuk menentukan jarak sebenarnya maka rumus yang digunakan adalah :
Jarak sebenarnya = jarak pada peta X skala
Perhatikan contoh  soal dibawah ini :
     1.      Jarak kota A – kota B pada peta adalah 4 cm
Skala peta 1 : 250.000
Tentukanlah jarak sebenarnya dari kota A ke kota B !
Jarak sebenarnya = jarak pada peta X skala
                            = 4 cm                  X 250.000
                            = 1000.000 cm
                            = 10 km
Keterangan  : Jarak antar kota umumnya menggunakan satuan km.
                      Cara mengubah satuan cm ke km yaitu dengan menggunakan satuan   
                      ukuran panjang (km-hm-dam-m-dm-cm-mm).
     2.      Denah sawah Pak Majid seperti gambar di bawah ini !

      12 cm                                            

 14 cm
 Skala  1 : 800
 Tentukanlah luas sawah pak Majid !



Langkah-langkah penyelesaiaannya :
 - menentukan panjang sebenarnya
   Panjang sebenarnya = panjang gambar X skala
                                   =    14 cm                X 800
                                   =  11.200 cm
                                   =  112 m
-        -   Menentukan lebar  sebenarnya = lebar gambar X skala
    =  12 cm           X 800
    =   9.600 cm
    =   96 m
-        -   Setelah panjang dan lebar sebenarnya diketahui barulah menentukan luas sebenarnya sesuai dengan         bentuk bangunnya. Karena sawah Pak Majid berbentuk persegi panjang maka kita gunakan rumus mencari luas persegi panjang, dan ukuran yang digunakan adalah ukuran panjang dan lebar sebenarnya yaitu :
                       Luas = panjang  X  lebar
                                = 112 m    X 96 m
                                = 10.752 meter persegi
Menentukan panjang  pada gambar
Apabila skala dan jarak sebenarnya diketahui dan kita diminta untuk menentukan jarak pada gambar maka rumus yang digunakan adalah = jarak sebenarnya : skala
Perhatikan soal berikut !
Contoh soal : Jarak Jakarta – Bogor adalah 60 km dan skala gambar 1 : 1.000.000, berapa cm jarak Jakarta – Bogor pada sebuah peta ?
Penyelesaian
Jarak pada gambar = jarak sebenarnya : skala
                                 =  60 km                  : 1.000.000
                                 =  6.000.000 cm      : 1.000.000
                                 = 6 cm
Jadi jarak Jakarta – Bogor pada peta adalah 6 cm
Catatan : 60 km harus diubah dulu menjadi  cm. 60 km = 6.000.000 cm.
Phytagoras

Siapa Phytagoras?
Nama "Teorema Phytagoras" diambil dari nama seorang seorang ahli matematika tersohor bernama Phytagoras dari Yunani yang hidup pada tahun 582 SM - 496 SM. Selain itu Phytagoras dikenal sebagai bapak bilangan karena ia berhasil membuktikan pola perhitungan panjag sisi segitiga siku-siku yang kita kenal sebagai teorema phytagoras. 

Pythagoras

Bagaimana bunyi Teorema Phytagoras?
Adapun bunyi teorema phytagoras adalah: "Pada segitiga siku-siku berlaku bahwa kuadrat sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainnya". Hipotenusa adalah sisi miring berbentuk diagonal, dan merupakan sisi terpanjang sebuah segitiga.
hipotenusa phytagoras
Rumus Phytagoras
rumus pythagoras
Persamaan dasar rumus phytagoras adalah :
c2 = a2 + b2
Rumus untuk mencari panjang sisi a
a2 = c2 - b2
Rumus untuk mencari panjang sisi b
b2 = c2 - a2
Contoh soal sederhana berkaitan dengan rumus Phytagoras
rumus phytagoras
Diketahui panjang sisi a = 15 cm dan panjang sisi b = 8 cm. Berapakah panjang sisi c?
Jawab:
c2 = 152 + 82
c2 = 225 + 64 = 289
c = √289
c = 17cm
Demikian Rumus Phytagoras beserta contohnya. Semoga bermanfaat guna
Simetri Lipat dan Simetri Putar
http://4.bp.blogspot.com/_3nICHQsPGoQ/TDWBxIVcnaI/AAAAAAAAAC0/x1lKjuUH638/s1600/math-1.png 
 
·        Simetri Lipat
http://3.bp.blogspot.com/-xsLugPh7LuQ/ULNLRXhjN5I/AAAAAAAAIW8/_HRYtili5tE/s1600/simetri.gifSimetri Lipat adalah jumlah lipatan yang dapat dibentuk oleh suatu bidang datar menjadi 2 bagian yang sama besar. Untuk mencari simetri lipat dari suatu bangun datar maka dapat dilakukan dengan membuat percobaan dengan membuat potongan kertar yang ukurannya mirip dengan yang akan diuji coba. Lipat-lipat kertas tersebut untuk menjadi dua bagian sama besar. Berikut ini adalah banyak simetri lipat dari bangun datar umum :
- Persegi Panjang memiliki 2 simetri lipat
- Bujur Sangkar memiliki 4 simetri lipat
- Segitiga Sama Sisi memiliki 3 simetri lipat
- Belah Ketupat memiliki 2 simetri lipat
- Lingkaran memiliki simetri lipat yang jumlahnya tidak terbatas
http://app.nedir.com/content_imgs_k/simetri.png·        B. Simetri Putar
Simetri Putar adalah jumlah putaran yang dapat dilakukan terhadap suatu bangun datar di mana hasil putarannya akan membentuk pola yang sama sebelum diputar, namun bukan kembali ke posisi awal. Percobaan dapat dilakukan mirip dengan percobaan pada simetri lipat namun caranya adalah dengan memutar kertas yang telah dibentuk. Berikut ini adalah banyak simeti putar pada bangun datar umum :
- Persegi Panjang memiliki 2 simetri putar
- Bujur Sangkar memiliki 4 simetri putar
- Segitiga Sama Kaki tidak memiliki simetri putar
- Segitiga Sama Sisi memiliki 3 simetri putar
- Belah Ketupat memiliki 2 simetri putar
- Lingkaran memiliki simetri putar yang jumlahnya tidak terbatas

TITIK, GARIS, SUDUT DAN KURVA

http://sryandyasmoko.files.wordpress.com/2012/05/matematika.png

PENGERTIAN TITIK, GARIS, SUDUT, DAN KURVA
Titik
Titik tidak didefinisikan, tidak berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Titik merupakan suatu ide yang abstrak. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah, kemudian dibubuhi dengan nama titik itu. Nama sebuah titik biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, P, Q, R. perhatikan gambar dibawah ini
. A = Titik A . P = Titik P
Macam - macam titik
a. Titik balik (titik paling bawah / paling atas dari suatu parabola). Titik balik dibedakan atas titik balik maksimum dan titik balik minimum.
b. Titik bagi suatu garis (titik yang membagi sebuah garis).
c. Titik belok.
d. Titik berat.
e. Titik invarian (titik tetap/ titik simetri).
f. Titik pangkal (titik asal atau titik pusat koordinat).
g. Titik potong (dua buah ruas garis selalu berpotongan disatu titik, titiknya disebut titik potong).
h. Titik sudut (dua ruas garis yang salah satu ujungnya bertemu disatu titik dan membentuk sudut, titik temu ruas garis itu disebut titik sudut).
Garis
Garis adalah komponen pembentuk bangun datar dan bangun ruang. dalam matematika, garis dilambangkan dengan (). Garis selalu digambarkan sebagai garis lurus yang kedua ujungnya memiliki anak panah.
Contoh :
Garis AB ditulis
Sifat – sifat garis :
1. Jika diketahui kedua titik sembarang dalam ruang, maka melalui titik itu dapat dibuat satu garis.
2. Suatu garis dapat diperpanjang secara tak terbatas dikedua arahnya.
3. Suatu garis mungkin mempunyai banyak nama .
Unsur pembentuk garis adalah ruas garis. Ruas garis merupakan jajaran ruas garis yang saling menyambung membentuk garis. Ruas garis adalah garis yang dibatasi dua buah titik. Ruas garis dilambangkan dengan garis lurus tanpa panah ().
Contoh :


Ruas garis CD di tulis
Jenis - jenis garis :
a. Garis bagi (garis yang membagi sebuah sudut bangun ruang menjadi bagian yang sama besar).
b. Garis berat (garis yang ditarik dari sebuah sudut bangun ruang dan membagi sisi yang dihadapan sudut itu menjadi bagian yang sama).
c. Garis bilangan (garis yang disetiap titiknya terdapat bilangan atau angka - angka).
d. Garis sejajar.
Dua garis dikatakan sejajar apabila :
- Terletak pada suatu bidang datar
- Tidak potong memotong
e. Garis tegak lurus (garis yang tegak lurus membentuk sudut 90°)
Sudut
Sudut adalah pertemuan/ perpotongan dua garis yang dilambangkan () . sudut merupakan bangun yang bersisi dua dan sisi-sisinya bersekutu pada salah satu ujungnya. Sisi-sisi sudut terbentuk dari ruas-ruas garis. Titik persekutuannya disebut titik sudut. Sisi sudut juga disebut kaki sudut. Jika memberi nama sudut, huruf pada titik sudut terdapat ditengah. Contoh
Sudut ABC ditulis ABC atau ∠B
Besar suatu sudut adalah ukuran daerah sudut itu. Untuk mengukur daerah sudut dipergunakan satuan sudut. Dalam matematika dikenal tiga macam satuan, namun yang sering dipakai adalah satuan sudut yang disebut derajat.
Macam-macam sudut
a. Sudut lancip
Sudut ABC disebut sudut lancip. Besarnya sudut lancip antara 0° - 90° atau 0° α 90°.
b. Sudut siku – siku
Sudut siku – siku besarnya 90°.
∠ A = sudut siku –siku yang dinyatakan
c. Sudut tumpul
Sudut besarnya lebih dari 90° tetapi kurang dari 180°.
Sudut A adalah sudut tumpul (90° ∠ A ∠ 180°)
d. Sudut azimuth
Sudut azimuth adalah sudut pada suatu titik yang menyatakan suatu arah terhadap arah utara yang diukur menurut arah putaran jarum jam. Sudut azimuth biasa digunakan dalam menentukan arah. Besar sudut biasa dinyatakan dengan tiga angka yang dimulai dari 000 – 360. Contoh
- A terletak pada jurusan 065° dari B
- B terletak pada jurusan 135° dari A
e. Sudut dalam berseberangan
Garis m sejajar garis p, ∠α dan ∠β adalah sudut- sudut dalam berseberangan (sudut – sudut dalam berseberangan sama besar)
f. Sudut luar berseberangan
Garis m sejajar garis p. sudut – sudut berseberangan adalah : ∠1 dan ∠3 (besar sudut sama besar). ∠2 dan ∠4 (besar sudut sama besar).
g. Sudut bertolak belakang
Dua garis yang berpotongan terbentuk sudut – sudut yang bertolak belakang
∠1 bertolak belakang dengan ∠3, ∠2 bertolak belakang dengan ∠4. Sudut – sudut yang bertolak belakang sama besar.
h. Sudut depresi
Sudut pada suatu titik yang diukur terhadap garis horizontal kesuatu arah dan berada dibawah garis horizontal.
∠α adalah sudut depresi dari A ke B.
i. Sudut elevasi (sudut ketinggian)
Sudut pada suatu titik yang diukur terhadap garis horizontal kesuatu arah dan berada diatas garis horizontal
∠α adalah sudut elevasi dari A ke B.
j. Sudut lurus (sudut yang besarnya 180°)
k. Sudut reflek (sudut yang besarnya 180°∠α∠360°)
Kurva
Kurva adalah garis dan ruas garis yang membentuk kurva – kurva sederhana. Kurva dapat digambarkan dengan bermacam – macam bentuk, bentuknya bisa teratur bisa juga tidak teratur. Dikenal 4 macam kurva yaitu :
1. Kurva tertutup sederhana
2. Kurva tidak tertutup sederhana
3. Kurva tertutup tidak sederhana
                        4. Kurva tidak tertutup tidak sederhana
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
http://1.bp.blogspot.com/-PpFeHa5wGuU/T3xihSo51-I/AAAAAAAAAHE/Wgv4GNUlDM8/s1600/Matematika.jpg
Sistem persamaan ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Dalam bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis yang sebidang, di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi peubah (variabel).
Dalam bab ini, akan dibahas persamaan dan pertidaksamaan linear, kuadrat, dan nilai mutlak serta penerapannya.



1.1. Persamaan linear dan kuadrat
Jika ditinjau dari penampilan peubahnya, persamaan dapat dibedakan menjadi persamaan linear dan persamaan tidak linear. Jika ditinjau dari banyak peubahnya, persamaan linear terbagi atas persamaan dengan satu peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah.
Persamaan tidak linear terbagi atas persamaan polinomial dengan satu peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah, serta persamaan pecah rasional yang pembilang dan penyebutnya berupa polinomial.


Persamaan Linear
Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk :

dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah.
Secara khusus, persamaan linear dengan satu peubah mempunyai bentuk
ax + b = 0, a  0
Jika semesta pembicaraannya adalah R (himpunan bilangan real), selesaian persamaan di atas dapat diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu –b pada kedua ruasnya, kemudian kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a, yaitu .
Secara matematik proses penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai :
(ax + b – b) = (0 – b)
(ax) = ( – b)
x = .
Contoh :
Carilah selesaian persamaan 2x + 8 = 10.
Penyelesaian :
2x + 8 = 10
2x = 10 – 8
2x = 2
x = 1.

Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah :
ax2 + bx + c = 0 , a  0
Bilangan real t disebut akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, jika memenuhi at2 + bt + c = 0.
Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu: pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus abc.

Contoh :
Carilah akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 5 = 0.
Penyelesaian :
a. Cara pemfaktoran :
x2 – 4x – 5 = 0
(x – 5)(x + 1) = 0
Diperoleh x1 = 5 atau x2 = -1.
b. Cara melengkapkan kuadrat :
x2 – 4x – 5 = 0
x2 – 4x + 22 – 22 – 5 = 0
(x – 2)2 – 9 = 0
(x – 2)2 = 9
x – 2 =  3
x = 2  3
Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1.
c. Dengan rumus abc, yaitu :
x2 – 4x – 5 = 0
a = 1, b = -4, dan c = -5
= = = 2  3
Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1.

Persamaan Derajat Tinggi
Pembicaraan persamaan polinomial dengan derajat lebih dari dua, dibatasi hanya pada derajat tiga, dengan penekanan pada dua rumus, yaitu:
x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) dan
x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2).
Untuk pemfaktoran persamaan derajat tinggi dapat digunakan metode Horner.

Contoh :
Carilah bentuk pemfaktoran dari x3 – 8 dan 8x3 – 27
Penyelesaian :
x3 – 8 = x3 – (2)3 = (x – 2)(x2 + 2x +4)
8x3 – 27 = (2x)3 – (3)3 = (2x – 3)(4x2 + 6x +9)
1.2. Pertidaksamaan linear dan kuadrat
Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
a. Ubahlah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan.
b. Carilah selesaian persamaan pada langkah a.
c. Berilah tanda dari nilai-nilainya.

Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga






http://makassar.tribunnews.com/foto/bank/images/matematika.jpg

1. Perpangkatan Tiga

Di Kelas V, kamu telah mengenal bilangan berpangkat dua. Jika suatu bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri, dikatakan bahwa bilangan tersebut dikuadratkan.
Misalnya, 5 × 5 = 25, dapat ditulis 52 = 25. Artinya, kuadrat dari 5 adalah 25. Adapun 25 disebut bilangan kuadrat.
Dengan cara yang sama, kamu dapat memahami perpangkatan tiga dari suatu bilangan.
Misalnya, 5 × 5 × 5 = 125, dapat ditulis 53 =125.

Contoh lainnya,
2 × 2 × 2 = 8 dapat ditulis 23 = 8
3 × 3 × 3 = 27 dapat ditulis 33 = 27
Bilangan 8, 27, dan 125 disebut juga bilangan kubik karena dapat dinyatakan
sebagai perpangkatan tiga bilangan, yaitu 23, 33, dan 53.

2. Penarikan Akar Pangkat Tiga

Di Kelas V, kamu juga telah mempelajari penarikan akar pangkat dua. Masih ingatkah kamu cara mencari nilai akar pangkat dua dari suatu bilangan? Ayo, perhatikan penguadratan bilangan berikut.

Akar pangkat dua merupakan kebalikan dari pangkat dua.
Perhatikan perpangkatan tiga berikut.
Image:Bilangan_B_22.jpg


3. Operasi Hitung pada Bilangan Berpangkat

Operasi hitung seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat juga dilakukan pada bilangan berpangkat maupun bilangan akar. Agar lebih jelas, pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh
a. 23 + 22 = (2 × 2 × 2) + (2 × 2)
                  = 8 + 4
                  = 12
b. 32 – 23 = (3 × 3) – (2 × 2 × 2)
                 = 9 – 8
                 = 1
c. (32 + 42) – 2 = (9 + 16) – 8
                          = 25 – 8
                          = 17
d. 53 × 33 = (5 × 5 × 5) × ( 3 × 3 × 3)
                 = 125 × 27
                 = 3.375
e. 9 + 3 8 = 3 + 2
                 = 5